Krok 5: odpowiedź częstotliwościowa, wykres Bodego i marginesy stabilności, od animacji ręki z ciężarkiem do marginesów funkcji pętli.
CDSSC · Krok 5 · ostatni krok powtórki przed blokiem Fundamentos de Realimentación
Frequency response and Bode plots (respuesta en frecuencia, diagrama de Bode)
Do tej pory pytaliśmy: co zrobi układ, gdy na wejściu nagle pojawi się skok? Tutaj zadajemy inne pytanie: co zrobi, gdy będziemy go rytmicznie bujać, raz wolno, raz szybko? Idziemy powoli, po jednym kroku:
1 Bujanie ciężarka · 2 Z pomiarów do wykresu · 3 Dlaczego s = jω · 4 Decybele · 5 Klocki · 6 Bode krok po kroku · 7 Pasmo i garb · 8 Plac zabaw · 9 Marginesy · 10 Pięć zastosowań · 11 Pułapki · 12 MATLAB · 13 Sprawdź się · 14 Podsumowanie
1 · Bujanie ciężarka na gumce
Trzymasz w ręce gumkę, na której wisi ciężarek. Ruszasz ręką w górę i w dół w stałym rytmie. Wejście to ruch ręki u(t), wyjście to ruch ciężarka y(t). Zmień rytm suwakiem (albo kliknij pomarańczowy znacznik pod nim) i patrz, co robi ciężarek. Po każdej zmianie odczekaj kilka sekund: ciężarek potrzebuje chwili, żeby się „dostroić”.
rytm ręki
ręka (wejście u)ciężarek (wyjście y)prawa część: ostatnie 8 sekund, najnowsze z prawej
Co widać przy trzech rytmach:
Wolno: ciężarek chodzi razem z ręką, tyle samo i w tym samym momencie.
W rytmie ciężarka (jego własna częstotliwość, jak huśtawka popychana w dobrym momencie): ciężarek skacze dużo bardziej niż ręka. To rezonans.
Szybko: ciężarek ledwo drga i porusza się odwrotnie niż ręka: ręka na górze, ciężarek na dole. Jego bezwładność nie nadąża.
„Własny rytm”? Przecież ciężarek sam się nie buja. Prawda, ktoś musi zacząć ruch. Chodzi o dwie różne sytuacje:
Drgania swobodne (vibraciones libres, free oscillation): ręka szarpie raz i staje. Ciężarek podskakuje dalej, coraz słabiej, aż się zatrzyma. Tempo tych podskoków to jego częstotliwość własna (frecuencia natural, natural frequency)\omega_n. Ręka go nie narzuca: wynika z gumki i ciężarka (sztywniejsza gumka → szybciej, cięższy ciężarek → wolniej).
Drgania wymuszone (vibraciones forzadas, forced oscillation): ręka macha cały czas. Ciężarek buja się w tempie ręki, nie swoim. To jest sytuacja tej lekcji.
Rezonans (resonancia) = drgania wymuszone trafiają w tempo drgań swobodnych. Każde pchnięcie idzie wtedy z ruchem, więc energia sumuje się cykl po cyklu. Jak dzwon: uderzysz raz i dzwoni swoim tonem, to jest ton, który „lubi”.
Najważniejsze: w każdym przypadku ciężarek, po chwili, drga w tym samym rytmie co ręka. Zmieniają się tylko dwie liczby, każda ma swój symbol matematyczny:
Pionowe kreski |\ | znaczą „wielkość”. Ręka ±1 cm, ciężarek ±3 cm → |G|=3. Czym jest samo G(j\omega), wyjaśnia część 3; na razie czytaj to jako „odpowiedź układu przy rytmie ω”.
Znak kąta \angle (albo litera \varphi, fi) znaczy „kąt”. Cały okres = 360°. Spóźnienie o ćwierć okresu → \varphi=-90^\circ (minus, bo to spóźnienie).
Dlaczego rytm się nie zmienia? Zaraz po zmianie rytmu ciężarek robi dwie rzeczy naraz: drga swoim własnym ruchem (to gaśnie, bo gumka i powietrze hamują) i drga w rytmie ręki (to zostaje, bo ręka cały czas pcha). Po chwili zostaje tylko rytm ręki. Na slajdach to SS-07 p.14, dolny rząd: „entrada sinusoidal” → najpierw „transitorio”, potem „régimen permanente”, czyli stan ustalony. Układ liniowy umie sygnał tylko pomnożyć i opóźnić, nie umie zmienić jego rytmu.
Spróbuj sam. Ręka rusza się ±2 cm, ciężarek ±6 cm i spóźnia się o ćwierć okresu. Ile wynosi moduł, a ile faza?
Moduł = amplituda wyjścia ÷ amplituda wejścia. Faza: ile stopni to ćwierć z 360°? Spóźnienie dostaje minus.
|G|=6/2=3 (ciężarek rusza się 3 razy tyle co ręka). Ćwierć okresu = 360° / 4 = 90°, spóźnienie, więc \varphi=-90^\circ. Dokładnie to zobaczysz przy przycisku „rezonans”.
2 · Z pomiarów do wykresu Bodego
Wyobraź sobie eksperyment: ustawiasz rytm, czekasz, aż ciężarek się ustali, i zapisujesz |G| oraz \varphi. Potem następny rytm. Jeśli narysujesz te pomiary, dostajesz wykres Bodego (diagrama de Bode). Zawsze ma dwa piętra, jedno pod drugim:
Górny wykres: moduł|G(j\omega)|: ile razy wyjście jest większe od wejścia.
Dolny wykres: faza\angle G(j\omega): o ile stopni wyjście się spóźnia.
Oś pozioma (wspólna): rytm \omega w rad/s. Jest logarytmiczna: od 0.1 do 1 jest tyle samo miejsca co od 1 do 10 i od 10 do 100, więc bardzo wolne i bardzo szybkie rytmy mieszczą się na jednym wykresie.
Rytm \omega (omega) to „radiany na sekundę”. Jeden pełny ruch w górę i w dół to 2\pi radianów, więc \omega=2\pi f, gdzie f to liczba ruchów na sekundę (Hz).
Stanowisko pomiarowe. Po lewej ten sam ciężarek (mniejszy), z własnym suwakiem rytmu. Po prawej Twoje pomiary. Ustaw rytm, poczekaj, aż wahania ciężarka przestaną się zmieniać, kliknij „zapisz”.
rytm
moduł |G|: ile razy ciężarek rusza się więcej niż ręka
faza ∠G: spóźnienie ciężarka w stopniach
Twoje pomiarypełna krzywa|G| = 1 (kreski)
Zapisz kilka punktów (wolno, rezonans, szybko), a potem kliknij „pokaż pełną krzywą”. Krzywa przechodzi przez Twoje pomiary: wykres Bodego to po prostu wszystkie takie pomiary naraz.
3 · Liczenie zamiast mierzenia: dlaczego s = jω
Nie chcemy za każdym razem budować eksperymentu. Mamy model układu: transmitancję G(s) (función de transferencia), czyli ułamek z s. Pytanie tej części: co wstawić za s, żeby dostać |G| i \varphi dla rytmu \omega? Najpierw musimy wiedzieć, co znaczy s.
Krok A: każdy sygnał ma swoje s
Sygnały w tym kursie są zbudowane z jednej cegiełki, wykładnika e^{st}, gdzie s=\sigma+j\omega to liczba zespolona. Rozbij go na dwa czynniki:
e^{st}=e^{(\sigma+j\omega)t}=\underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{wielkość: rośnie albo gaśnie}}\cdot\underbrace{e^{j\omega t}}_{\text{obrót: rytm}}
e^{j\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t (wzór Eulera) to strzałka o długości 1, która kręci się z prędkością ω radianów na sekundę. Jej długość jest zawsze 1, więc robi tylko rytm, nigdy wzrost.
Całe rośnięcie albo gaśnięcie bierze się z e^{\sigma t}: \sigma<0 gaśnie, \sigma>0 rośnie, \sigma=0 daje e^{0}=1, wielkość stoi w miejscu.
sygnał
zbudowany z
jego s
σ
co robi
skok 1
e^{0t}
0
0
stała
e^{-2t}
e^{-2t}
−2
−2
gaśnie, bez bujania
\sin 3t
\dfrac{e^{3jt}-e^{-3jt}}{2j}
±3j
0
buja się bez końca, ta sama wysokość
e^{-0.5t}\sin 3t
e^{(-0.5\pm3j)t}
−0.5 ± 3j
−0.5
buja się i gaśnie (dzwon po uderzeniu)
e^{0.3t}\sin 3t
e^{(0.3\pm3j)t}
0.3 ± 3j
+0.3
buja się i rośnie (niestabilny)
Dlaczego więc sinus ma σ = 0? Bo sinus składa się tylko z części obrotowej e^{\pm j\omega t}, bez czynnika e^{\sigma t} z przodu. Wszystko, co ma rosnącą albo gasnącą kopertę (uderzony dzwon, niestabilne drgania), ma \sigma\ne0. Te wartości s to dokładnie bieguny transformaty Laplace'a każdego sygnału: SS-04 p.12, \mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2} ma bieguny w \pm j\omega.
Pobaw się sigmą dla sygnału e^{\sigma t}\cos 3t:
σ (rośnie / gaśnie)
sygnał e^{σt}·cos(3t) i jego koperta
sygnałkoperta ±e^{σt} (kreski)linia zera
Spróbuj sam. Jakie s ma sygnał e^{-3t}\cos 2t? Podaj σ i ω (dodatnie).
Liczba w wykładniku e to σ. Liczba mnożąca t wewnątrz cosinusa to ω.
s=-3\pm2j: σ = −3 (szybko gaśnie), ω = 2 (rytm).
Uwaga: dwa różne rodzaje s. Nie mieszaj ich.
Własne bieguny układu (jego mody): ustalone przez układ. Ciężarek na gumce ma bieguny w -0.47\pm3.1j: σ ≠ 0, słabo tłumiony, ζ = 0.15. Odpowiedź częstotliwościowa ich nie zmienia. Decydują o drganiach przejściowych, które gasną po każdej zmianie rytmu, i o kształcie wykresu Bodego (garb rezonansowy).
s sygnału testowego, którym pchamy: to wybieramy my. W odpowiedzi częstotliwościowej zawsze pchamy czystym sinusem, więc jego s = jω i σ = 0.
Czyli „σ = 0” dotyczy wejścia, a nie układu. Układ nie staje się przez to krytycznie tłumiony (to ζ = 1, cecha samego układu). Pobujaj słabo tłumiony ciężarek i dobrze tłumiony tym samym czystym sinusem: wejście jest takie samo, wykresy Bodego są różne. Wyobraź sobie samochód na stole wibracyjnym: stół rusza się czystymi sinusami, a własne amortyzatory samochodu decydują, jak mocno nadwozie podskakuje przy każdym rytmie.
Najważniejszy ruch tego kroku
W odpowiedzi częstotliwościowej wejście to czysty sinus, a czysty sinus ma \sigma=0. Dlatego zawsze podstawiamy:
s=j\omega\qquad\Longrightarrow\qquad G(j\omega)
G(j\omega) to jedna liczba zespolona dla każdego rytmu \omega. Jej długość to moduł |G(j\omega)|, a jej kąt to faza \angle G(j\omega). Wtedy wyjście w stanie ustalonym to:
Warunek: układ stabilny (jego własne bieguny mają σ < 0, więc ich część gaśnie; inaczej nie ma stanu ustalonego).
Krok B: liczba zespolona jako strzałka
Liczba zespolona z=a+jb to punkt na mapie: a kroków w prawo wzdłuż osi rzeczywistej (Re), b kroków w górę wzdłuż osi urojonej (Im). Rysujemy strzałkę od zera do tego punktu. Ruszaj a i b i patrz na długość i kąt:
Długość to Pitagoras na przerywanym trójkącie. Kąt zaczyna się na dodatniej osi Re: strzałka nad nią → kąt dodatni, pod nią → kąt ujemny. Dla a<0 samo \arctan(b/a) trafia do złej połowy; eksplorator pokazuje poprawny kąt (kalkulatory nazywają to atan2).
Spróbuj sam.z=-1+1j. Długość i kąt w stopniach? (Sprawdź suwakami.)
Długość: Pitagoras z a = −1 i b = 1. Kąt: punkt jest w górę i w lewo, więc między 90° a 180°.
|z|=\sqrt{1+1}=1.414. Punkt leży 45° nad ujemną osią Re, więc jego kąt to 180° − 45° = 135°.
Po co reguła dla ułamków
Prawie każde G(s) to ułamek, np. \dfrac{1}{1+j\omega}. Mianownik 1+j\omega łatwo narysować jako strzałkę. Chcemy więc wiedzieć: jeśli znam strzałkę z, jak wygląda strzałka 1/z? Odpowiedź dają dwa fakty:
Przy mnożeniu dwóch liczb zespolonych długości się mnożą, a kąty dodają: |z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|, \angle(z_1z_2)=\angle z_1+\angle z_2.
z\cdot\dfrac1z=1, a liczba 1 to strzałka o długości 1 i kącie 0°.
Więc długości z i 1/z muszą dać razem 1, a ich kąty muszą się zsumować do 0:
\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}\qquad \angle\frac{1}{z}=-\angle z
Sprawdzenie na liczbach: z=1+j ma długość 1.414 i kąt +45°. Odwrotność \dfrac{1}{1+j}=0.5-0.5j ma długość 0.707 = 1/1.414 i kąt −45°. Mnożenie: (1+j)(0.5-0.5j)=0.5-0.5j+0.5j+0.5=1. ✓
Przykład: termometr (układ 1. rzędu, T = 1 s)
Termometr wsadzony do kubka reaguje z opóźnieniem: po skoku temperatury dochodzi do 63 % po czasie T. Jego model i podstawienie:
Po co ten przykład? W części 1 moduł i fazę mierzyłeś (ręka, ciężarek, linijka). Tu te same dwie liczby liczysz ze wzoru, bez eksperymentu.
G(j\omega) to nie jest nowa „standard form”. To ta sama G(s), tylko z s zamienionym na j\omega. Tak samo robisz z każdą G(s). Dla jednego rytmu ω wychodzi jedna liczba zespolona, czyli jedna strzałka: jej długość = moduł, jej kąt = faza.
Co robi termometr fizycznie: woda w kubku na zmianę grzeje się i stygnie w rytmie ω. Wolne zmiany: termometr nadąża i pokazuje pełną zmianę. Szybkie zmiany: nie nadąża, tylko uśrednia, więc wskazanie prawie stoi i jest spóźnione.
Jak czytać suwak poniżej: mianownik 1+j\omega to strzałka „1 w prawo” (stałe, z „+1”) i „ω w górę” (to ustawiasz suwakiem). Przy ω = 1 oba kroki są równe, więc strzałka idzie po przekątnej: 45°. Większe ω → strzałka mianownika dłuższa i bardziej stroma → G (odwrotność) krótsza i bardziej w dół: mniejszy moduł, większe spóźnienie.
To nie jest mapa biegunów. Na płaszczyźnie s (mapie biegunów) biegun po prawej znaczy układ niestabilny. Tu rysujemy coś innego: wartość liczby G(j\omega) (i jej mianownika) dla jednego rytmu ω. Te same osie, inne znaczenie: punkt po prawej znaczy tu tylko „dodatnia część rzeczywista tej liczby”. Termometr jest stabilny (jego biegun to −1, po lewej stronie płaszczyzny s).
rytm ω
Szara strzałka: mianownik 1+j\omega (1 w prawo, ω w górę). Niebieska strzałka: G=1/(1+j\omega), odwrotność: krótsza i skierowana w dół o ten sam kąt.
mapa liczb 1 + jω i G(jω)
mianownik 1 + jωG(jω) = 1/(1 + jω)
Przy \omega=1: mianownik ma długość \sqrt{1^2+1^2}=1.414 i kąt 45°. Więc |G|=1/1.414=0.707 i \angle G=-45^\circ. Ogólnie:
Moduł potrafi się zmieniać od 0.0001 do 1000. Na zwykłej osi małe wartości zlewają się z zerem. Dlatego inżynierowie zapisują moduł w decybelach (decibelios):
|G|_{dB}=20\log_{10}|G(j\omega)|
stosunek |G|
dB
znaczenie
100
+40
100 razy większe
10
+20
10 razy
2
+6
2 razy
1
0
bez zmian
0.707
−3
„róg”
0.5
−6
połowa
0.1
−20
10 razy mniejsze
0.01
−40
100 razy mniejsze
Dwa powody:
Każde „razy 10” to po prostu „+20 dB”. Wielkie i małe liczby mieszczą się na jednej osi.
Mnożenie zmienia się w dodawanie. Dwa klocki jeden za drugim mnożą się, G=G_1G_2. Logarytm iloczynu to suma logarytmów, a kąty i tak się dodają:
|G_1G_2|_{dB}=|G_1|_{dB}+|G_2|_{dB}
\angle G_1G_2=\angle G_1+\angle G_2
Czyli Bode całego układu = suma krzywych prostych klocków (część 5 i 6).
Przelicznik
stosunek = dB
dB = stosunek
Dekada (década) = ω razy 10, czyli jedna „kratka z liczbą” na osi poziomej. Nachylenie „−20 dB/dek” znaczy: gdy rytm rośnie 10 razy, moduł maleje 10 razy.
Dlaczego 20, a nie 10: decybel dla mocy to 10 log, a moc rośnie jak kwadrat amplitudy, więc dla amplitudy wychodzi 20 log. Definicja z Franklina, rozdz. 6 (bibliografia kursu); slajdy FR-02 używają dB bez wyprowadzenia.
Jak liczyć decybele: przykłady
Z kalkulatorem: przycisk log to \log_{10}. Wpisz stosunek, naciśnij log, pomnóż przez 20.
Prawie każde G(s) da się rozłożyć na iloczyn pięciu rodzajów prostych klocków. Każdy klocek ma asymptotę: przybliżenie liniami prostymi, które łatwo narysować ręcznie. Wybierz klocek i pokręć jego parametrem. Niebieska linia = dokładna krzywa, pomarańczowa przerywana = asymptota.
moduł w dB
faza w stopniach
dokładna krzywaasymptota (kreski)0 dB (kreski)
Reguły asymptot i błędy w rogu pochodzą z Franklina, rozdz. 6. W slajdach nie ma osobnej talii o Bodem (guía docente traktuje go jako wymaganie wstępne).
Spróbuj sam. Biegun \dfrac{1}{0.5s+1}. Gdzie jest róg i ile dB pokazuje asymptota przy \omega=20 rad/s?
Róg = 1/T. Na każdą dekadę (×10) za rogiem asymptota spada o 20 dB.
Róg w 1/T=1/0.5=2. Od rogu −20 dB/dek. ω = 20 to jedna dekada za rogiem (2 → 20), więc −20 dB. Sprawdź w przeglądarce klocków: biegun, T = 0.5.
6 · Jak narysować Bodego krok po kroku
Przepis na papier, na przykładzie G(s)=\dfrac{100}{s(s+10)} (silnik: napięcie → kąt wału). Klikaj „dalej”: każdy krok dokłada jedną rzecz do wykresu.
moduł w dB
faza w stopniach
K = 10całka 1/sbiegun, róg 10suma asymptotdokładna krzywa
Spróbuj sam.G(s)=\dfrac{1000}{(s+1)(s+100)}. Doprowadź do postaci Bodego i podaj: poziom na lewo od pierwszego rogu (dB), pierwszy róg, nachylenie między rogami i nachylenie za drugim rogiem.
Wyciągnij liczbę z każdego nawiasu, żeby wyglądał jak (Ts+1): (s+100) = 100·(0.01s+1). Liczby z przodu dają K. Każdy róg bieguna zmniejsza nachylenie o 20.
K = 10 → 20 dB, płasko (nie ma całki). Rogi: 1 i 100. Za pierwszym rogiem −20 dB/dek, za drugim −40 dB/dek. Sprawdź w placu zabaw (część 8): K = 10, biegun T₁ = 1, biegun T₂ = 0.01.
7 · Pasmo ↔ szybkość, garb ↔ przeregulowanie
Bode mówi też, jak szybko układ odpowie na skok i czy przestrzeli. Dwie definicje:
Pasmo (ancho de banda, ω_BW)
najszybszy rytm, za którym układ jeszcze nadąża: tam, gdzie moduł spada 3 dB poniżej swojego poziomu dla wolnych rytmów (FR-06 p.10, rysunek Franklina 6.5). Słuchawki mają „pasmo przenoszenia” 20 Hz–20 kHz: ciężka membrana ucina wysokie tony.
Garb rezonansowy (cresta de resonancia, Mr)
o ile moduł podskakuje ponad poziom startowy przed opadaniem. To ciężarek z części 1 w rezonansie. Pojawia się, gdy tłumienie ζ (zeta, „siła amortyzatora”) jest małe.
Dlaczego pasmo = szybkość? Ostry skok to mieszanka wszystkich rytmów naraz. Układ z wąskim pasmem ucina szybkie składniki, więc krawędź skoku się zaokrągla i odpowiedź jest wolna.
Porównanie 1: wolny i szybki termometr
Dwa termometry: gruby (T = 1 s) i cienki (T = 0.2 s). Po lewej Bode, po prawej odpowiedź na skok temperatury.
moduł w dB
faza w stopniach
odpowiedź na skok
Pasmo 5 razy szersze → odpowiedź 5 razy szybsza. Dla układu 1. rzędu \omega_{BW}=1/T i t_s(5\%)=3T, więc t_s=3/\omega_{BW}.
Porównanie 2: trzy amortyzatory
Ta sama sprężyna i masa (\omega_n=5 rad/s, własny rytm), trzy amortyzatory: słaby ζ = 0.1, średni ζ = 0.4, dobry ζ = 0.7.
moduł w dB
faza w stopniach
odpowiedź na skok
Słaby amortyzator: wysoki garb na Bodem i duże bujanie po skoku (przeregulowanie Mp, sobreoscilación). To ten sam brak hamowania widziany z dwóch stron, więc garb i Mp rosną razem.
Tabela ze wzorów 2. rzędu. Ostatnia kolumna przyda się w części 9 (margines fazy pętli, która po zamknięciu daje ten układ, FR-02 p.13). Dla 2. rzędu czas narastania t_r\approx1.8/\omega_n (Franklin, rozdz. 3, poza slajdami).
Spróbuj sam. Czujnik 1. rzędu ma pasmo 4 rad/s. Ile wynosi jego T i czas ustalania t_s (5 %)?
1. rząd: ω_BW = 1/T oraz t_s = 3T.
T=1/\omega_{BW}=0.25 s, t_s=3T=0.75 s.
8 · Plac zabaw: składanie Bodego z klocków
Teraz wszystko naraz. Włączaj klocki, kręć parametrami, porównuj dokładną krzywą z asymptotami i patrz na skok obok. Przyciski na górze ładują gotowe układy.
K
−20 dB/dek, −90°
para ζ
moduł w dB
faza w stopniach
odpowiedź skokowa tego samego G
dokładnaasymptoty (kreski)pasmo ω_BW0 dB, wartość końcowa (kreski)
Samo zero bez bieguna: Bode da się narysować, skoku nie (licznik wyższego stopnia niż mianownik, taki układ nie istnieje fizycznie).
9 · Marginesy: Bode funkcji pętli L(jω)
Przypomnienie pętli w dwóch zdaniach. W pętli regulacji sygnał robi okrążenie: regulator D → obiekt (plant) G → czujnik H → z powrotem do sumatora, który odejmuje pomiar od celu. Jedno okrążenie to funkcja pętli (función de lazo) L=D\,G\,H, a bieguny pętli zamkniętej leżą tam, gdzie 1+L(s)=0.
Granica stabilności to bieguny na osi urojonej, czyli właśnie s=j\omega. Wtedy 1+L(j\omega)=0, czyli L(j\omega)=-1. Liczba −1 jako strzałka ma długość 1 i kąt −180°:
Mikrofon przy głośniku. Dźwięk robi okrążenie: mikrofon → wzmacniacz → głośnik → powietrze → mikrofon. Jeśli dla jakiegoś tonu okrążenie odwraca go o 180° (a sumator dokłada swój minus, razem pełne 360°, czyli ton wraca „w fazie”) i nie ścisza go (moduł ≥ 1), to po każdym okrążeniu ton jest głośniejszy: pisk. Marginesy mówią, jak daleko jesteś od pisku:
Margines wzmocnienia, MG
(margen de ganancia, FR-02 p.4) Znajdź rytm \omega_f, przy którym faza = −180° (frecuencia de cruce de fase). Odczytaj tam moduł. MG = ile dB brakuje do 0 dB. „O ile możesz jeszcze podkręcić gałkę głośności.”
|L(j\omega_f)|_{dB}+MG=0
Margines fazy, MF
(margen de fase, FR-02 p.5) Znajdź rytm \omega_g, przy którym moduł = 0 dB (frecuencia de cruce de ganancia). Odczytaj tam fazę. MF = ile stopni brakuje do −180°. „Ile dodatkowego opóźnienia zniesie.”
\angle L(j\omega_g)-MF=-180^\circ
Spróbuj sam. Na Bodem pętli: przy \omega_g (moduł 0 dB) faza wynosi −140°. Przy \omega_f (faza −180°) moduł wynosi −8 dB. Podaj MF i MG.
MF = 180° + (faza przy ωg). MG = minus (moduł w dB przy ωf).
MF: −140° − MF = −180° → MF = 40°. MG: −8 dB + MG = 0 → MG = 8 dB (wzmocnienie można podnieść 2.5 razy, bo 10^(8/20) = 2.5). Oba dodatnie, więc pętla stabilna.
Stabilna pętla ⇔ MG > 0 i MF > 0, wtedy też \omega_g<\omega_f (FR-02 p.6–7). Warunek: L minimalnofazowe (fase mínima): wszystkie bieguny i zera po lewej stronie, najwyżej jeden biegun w zerze.
MF mówi o tłumieniu:\zeta\approx MF/100 dla 0° < MF < 60° (FR-02 p.12). Mniejszy MF → większe przeregulowanie i większy garb pętli zamkniętej (FR-02 p.11, FR-06 p.12).
ωg mówi o szybkości: pasmo pętli zamkniętej \omega_g\le\omega_{ab}<2\omega_g (FR-02 p.12).
Lewy koniec |L| mówi o błędzie ustalonym: poziomo → zostaje błąd e_p=1/(1+L(0)); nachylenie −20 dB/dek (całka w pętli) → e_p=0 (FR-02 p.3).
Laboratorium: wzmocnienie regulatora a marginesy
Regulator P to klocek K: przesuwa tylko krzywą modułu w górę, faza stoi. Patrz, jak ωg ucieka w prawo, MF maleje, a bieguny pętli zamkniętej przesuwają się w prawo. Pomarańczowe znaczniki pod suwakiem to wzmocnienia, przy których zmienia się werdykt (MF = 30°, granica stabilności): kliknij jeden i poruszaj suwakiem wokół niego.
wzmocnienie
|L(jω)| w dB
∠L(jω) w stopniach
skok pętli zamkniętej, cel r = 1
bieguny pętli zamkniętej (płaszczyzna s: na prawo od osi Im = niestabilnie)
L(jω)MG (odcinek przy ωf)MF (odcinek przy ωg)0 dB i −180° (kreski)|T(jω)|
Do sprawdzenia: piekarnik FR-03 p.7: D = 10 daje MG = 0 dB i MF = 0°, bieguny na osi Im (to samo wychodzi z 1 + L = 0). Ramię robota: Kp = 2.55 → MF ≈ 65°, reguła daje ζ ≈ 0.65, prawdziwe ζ = 0.70. Ramię bez filtra ma MG = ∞ (faza nigdy nie sięga −180°), więc samo P go nie zdestabilizuje. Filtr czujnika 0.05 s ściąga fazę w dół i robi z tego granicę Kp = 15.
Przewodnik: gdzie dokładnie patrzeć, żeby odczytać MF i MG
Silnik z egzaminu praktycznego (L = K·500/(s(s+500))) i piec z FR-03 s. 7. Zielone = zapas fazy MF (margen de fase), czerwone = zapas wzmocnienia MG (margen de ganancia). Pod Bode mała odpowiedź skokowa, żeby widzieć, co liczby znaczą w czasie.
Obiekt
K
Góra: |L| (magnitud). Dół: ∠L (fase). Gruba niebieska = wybrane K, cienkie szare = pozostałe K (faza wspólna dla wszystkich K).
Wcp (|L| = 0 dB)
MF = Pm
Wcg (faza = −180°)
MG = Gm
K max
Powiązanie: odpowiedź skokowa pętli zamkniętej dla tego K
Mały MF = duże przeregulowanie. MG < 0 = krzywa ucieka z wykresu. Przerywana = wartość końcowa.
Przypadki szczególne (kliknij „Pokaż”)
Co widzisz
Co to znaczy
Wielkość nigdzie nie przecina 0 dB
Wcp nie istnieje → MF = ∞
Faza nigdzie nie przecina −180°
Wcg nie istnieje → MG = ∞, stabilny dla każdego K
Przy −180° wielkość dokładnie na 0 dB
MG = 0 dB, MF = 0° → krawędź
Przy −180° wielkość NAD 0 dB
MG < 0 dB → niestabilny
MATLAB: margin(L) rysuje to samo, w tytule Gm i Pm. [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(L) daje liczby (Gm jako stosunek, mag2db(Gm) w dB). Kilka K naraz: bode(50*G,125*G,1000*G).
10 · Pięć zastosowań obok siebie
Same obiekty (bez pętli), Bode i skok na wspólnych osiach. Przyciski pod tabelą włączają i wyłączają układy. Silnik (całka) po skoku rośnie bez końca, więc jego rampa wychodzi górą poza wykres skoków, zamiast spłaszczać pozostałe krzywe.
moduł w dB
faza w stopniach
odpowiedź skokowa
Quiz o pięciu zastosowaniach
11 · Pułapki
dB kontra stosunek. −6 dB to „połowa”, nie „minus sześć razy”. MATLAB margin zwraca Gm jako stosunek: MG_{dB}=20\log_{10}G_m.
rad/s kontra Hz.\omega=2\pi f. Bode w MATLAB domyślnie w rad/s. Zawieszenie „1 Hz” to 6.28 rad/s na wykresie.
Stopnie kontra radiany. Faza na Bodem jest w stopniach, a atan w MATLAB zwraca radiany: używaj atand albo mnóż przez 180/π.
L kontra T. Marginesy czytasz na Bodem pętli otwartej L. Pasmo i garb czytasz na pętli zamkniętej T = L/(1+L). To różne krzywe: |T| ≈ 1 poniżej ωg, |T| ≈ |L| powyżej (FR-02 p.9–16).
Asymptota to nie krzywa. W rogu bieguna prawdziwa krzywa leży 3 dB niżej. Przy ωn pary: -20\log_{10}(2\zeta) względem asymptoty, czyli +14 dB dla ζ = 0.1.
Zawijanie fazy. −270° i +90° to ten sam kąt. MATLAB czasem rysuje skok fazy o 360°. Szukając −180°, patrz na ciągłość krzywej albo ustaw PhaseWrapping na 'off'.
Marginesy na L = D·G·H, nie na G. Regulator i czujnik należą do pętli. Dobre MF samego G nic nie mówi, jeśli D = 50.
Tylko dla L minimalnofazowego (FR-02 p.6). Biegun albo zero po prawej (np. FR-03 p.8, 1/(s-1)): MG/MF dają bzdury, sprawdzaj 1+L=0.
Nazwy w MATLAB odwrotnie niż na slajdach.Wcg = gdzie mierzy się MG (faza −180°, na slajdach \omega_f). Wcp = gdzie mierzy się MF (moduł 0 dB, na slajdach \omega_g). Franklin (FR-06 p.12) pisze \omega_c zamiast \omega_g.
12 · MATLAB
%% Krok 5: Bode i marginesy
s = tf('s');
G = 1/(s+1); % termometr, T = 1 s
bode(G), grid on % moduł w dB (góra), faza w stopniach (dół), ω w rad/s
[mag,phase,w] = bode(G); % liczby zamiast obrazka
magdB = 20*log10(squeeze(mag)); % squeeze: bode zwraca tablicę 1x1xN
opts = bodeoptions;
opts.FreqUnits = 'Hz'; % oś w Hz zamiast rad/s
opts.PhaseWrapping = 'off';
bode(G, opts), grid on
%% Marginesy na funkcji pętli L = D*G*H (FR-03 p.7)
D = 5;
Gp = 6/((s+1)*(s+2)*(s+3));
L = D*Gp;
figure, margin(L) % Bode + MG, MF i częstotliwości w tytule
[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(L) % Gm to STOSUNEK; Wcg = ωf, Wcp = ωg
GmdB = 20*log10(Gm)
%% Pętla zamknięta: pasmo i skok
T = feedback(L,1);
bandwidth(T) % ωab w rad/s (−3 dB poniżej T(0))
figure, bode(L, T), grid on, legend('L','T')
figure, step(T), grid on
linearSystemAnalyzer(L) % w starszych wersjach: ltiview(L)
Czytanie wykresu: klik w krzywą = dymek z ω, dB i stopniami. Prawy klik → Characteristics → All Stability Margins / Peak Response. Prawy klik → Properties → Units: rad/s albo Hz.
Wynik do porównania z laboratorium w części 9: D = 5 → MG = 6.0 dB (Gm = 2.0) przy Wcg = 3.32 rad/s, MF = 25.4° przy Wcp = 2.35 rad/s.
13 · Sprawdź się
Z1. Decybele. Ile dB to stosunek amplitud 5? Jaki stosunek to −40 dB?
20·log10 ze stosunku; dla −40 dB użyj 10^(−40/20).
To był ostatni krok powtórki. Dalej blok Fundamentos de Realimentación: wrażliwość i marginesy odporne (FR-03), błąd ustalony (FR-04), zakłócenia (FR-05), specyfikacje (FR-06).
Źródła: FR-02 p.2–16 (Bode L, MG, MF, ζ ≈ MF/100, ωg ≤ ωab < 2ωg, L kontra T), FR-06 p.10, 12, 16 (specyfikacje na Bodem, rysunki Franklina), FR-03 p.7–10 (piekarnik, obiekt niestabilny, odległość od −1 = 1/|S|), SS-07 p.14 (sinus → stan ustalony), SS-04 p.12 (transformata sinusa), SS-10 (Mp). Spoza slajdów (Franklin, Feedback Control of Dynamic Systems, rozdz. 3 i 6, bibliografia kursu): reguły asymptot, wzory na Mr, ωr, ω_BW, t_r ≈ 1.8/ωn, definicja dB.